Двойной интеграл в полярных координатах (WinWord)

---

запомнить в избранное   искать в этом разделе

---

ВНИМАНИЕ !!! Это сокращенная версия файла. Предназначена она только для того, чтобы вы могли предварительно ознакомиться с документом, перед тем как его скачать. Здесь нет картинок, не сохранен формат, шрифт, размеры и положение на странице.
Чтобы скачать полную версию, нажмите ссылки которые находятся чуть-чуть ниже (Info File Mail)

---

Info File Mail

Файл относится к разделу:
МАТЕМАТИКА

---

Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos (, y = r sin . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки (Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и (i (лучи(рис.1.
Введем обозначения:
(rj = rj+1 - rj,
(i (i+1 (i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки (Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rj(i и (rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
(Si = rj (i (rj (3)
Что касается ячеек (Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij ( Sij для простоты выберем вершину ячейки (Sij с полярными координатами rj и (i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos (i, yij = rj sin (i.
И следовательно,
f(xij,yij= f(rj cos (i, rj sin (i) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек (Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины (i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости O(r. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos(, r sin)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами (i и (ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d( dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перей

• подписаться на рассылку. • добавить в избранное. • нашли ошибки ?

Это место